GRAFIK FUNGSI KUADRAT

1. Sumbu Simetri, Titik Puncak, Sifat Definit Positif atau Negatif Fungsi Kuadrat dengan Melengkapkan Bentuk Kuadrat

Pada modul yang berjudul “Persamaan dan Fungsi Kuadrat–1“, telah Anda pelajari cara menentukan persamaan sumbu simetri, titik puncak atau titik balik, sifat definit positif dan definit negatif dengan menggunakan grafik fungsi kuadrat. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang menentukan persamaan sumbu simetri, titik puncak atau titik balik, sifat definit positif dan definit negatif dengan melengkapkan bentuk kuadrat. Untuk itu, cobalah Anda simak kembali penjelasan sebagai berikut :

Persamaan fungsi kuadrat : y = f (x) = ax + bx + c Dari persamaan : y = ax + bx + c Anda ubah menjadi : y = a ( x + ) + c

dengan melengkapkan bentuk kuadrat, coba Anda ubah menjadi : y = a ( x + ) + - + c y = a ( x + ) + a( ) - + c y = a ( x + + ) - + y = y =

Untuk a > 0 atau a positif : Maka bentuk selalu bernilai positif atau sama dengan nol untuk semua x € R , maka nilai terkecil dari adalah 0. Dengan demikian, mempunyai nilai minimum - , dan nilai itu dicapai jika = 0 atau = 0 atau x = - Jadi titik balik minimum parabola adalah Untuk a <> Maka bentuk selalu bernilai negatif atau sama dengan 0 untuk semua x € R , maka nilai terbesar dari adalah 0. Dengan demikian, mempunyai nilai maksimum - , dan nilai itu dicapai jika = 0 atau = 0 atau x = - Jadi titik balik maksimum parabola adalah

Dari penjelasan di atas, dapat Anda ambil kesimpulan bahwa : Fungsi kuadrat dengan persamaan : y = f(x) = mempunyai : Sumbu simetri dengan persamaan : x = - Titik puncak atau titik balik adalah :

Jenis Titik Balik : Apabila a > 0, maka titik balik minimum Apabila a <>

Apabila p = - dan q = - , maka persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = a ( x + ) dan q = - , dapat dinyatakan sebagai : y = f(x) = a ( x - p ) + q sehingga fungsi kuadrat ini mempunyai : Sumbu simetri dengan persamaan : x = p Titik puncak atau titik balik adalah : ( p,q )

Jenis Titik Balik : Apabila a > 0, maka titik balik minimum Apabila a <>

Selanjutnya, bagaimana menggunakan rumus di atas? Baiklah, untuk lebih jelasnya, sebaiknya Anda cermati beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1 : Diketahui fungsi kuadrat f (x) = x - 2x + 5. Coba Anda tentukan sumbu simetri dan titik balik grafik fungsi kuadrat tersebut! Jawab : Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan : y = x - 2x + 5 Anda ubah menjadi : y = x - 2x + 1 + 4 y = ( x - 2x + 1 ) + 4 y = ( x - 1 ) + 4 Dengan menggunakan rumus : y = a ( x - p ) + q Maka bentuk y = ( x - 1 ) + 4 , kita ubah menjadi : y = 1.( x - 1 ) + 4 Ini berarti diperoleh : a = 1 , p = 1 , dan q = 4 Jadi : sumbu simetrinya adalah x = p x = 1 titik baliknya adalah ( p,q ) = ( 1,4 ) Karena a = 1 > 0 , maka jenisnya adalah titik balik minimum. Bagaimana, tidak sulit bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya marilah kita pelajari contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2 : Diketahui parabola dengan persamaan y = -x - 4x + 5. Tentukan sumbu simetri dan titik balik parabola tersebut! Jawab : Persamaan y = -x - 4x + 5, diubah menjadi : y = -( x + 4x ) + 5 y = -( x + 4x + 4 ) + 4 + 5 y = -( x + 2 ) + 9 y = -1( x - (-2) ) + 9 Dengan menggunakan rumus : y = a ( x - p ) + q Berarti : a = -1 , p = -2 , dan q = 9 Jadi : sumbu simetrinya adalah x = p x = -2 titik baliknya adalah ( p,q ) = ( -2,9 ) Karena a = 1 > 0 , maka jenisnya adalah titik balik minimum. Mudah bukan? Apakah Anda sudah paham? Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda, cermati contoh 3 di bawah ini.

Contoh 3 : Diketahui grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = x + 3. Tentukan sumbu simetri dan titik balik grafik fungsi tersebut! Jawab : Persamaan y = x + 3, diubah menjadi : y = ( x - 0 ) + 3 y = 1.( x - 0 ) + 3 Dengan menggunakan rumus : y = a ( x - p ) + q Berarti : a = 1 , p = 0 , dan q = 3 Jadi : sumbu simetrinya adalah x = p x = 0 , atau sumbu y titik baliknya adalah ( p,q ) = ( 0,2 ) Karena a = -1 <> Nah, setelah mempelajari beberapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini.

LATIHAN

Tentukan sumbu simetri dan titik balik tiap-tiap grafik fungsi kuadrat dengan persamaan : 1. y = x - 8x - 9 2. y = x + 2x + 3 3. y = 2x - 4x + 2 4. y = -x - 2x + 1 5. y = -x - 5x 6. y = -3x - 1

2.	Fungsi Kuadrat yang Melalui Tiga Titik yang Tidak Segaris atau Memenuhi Kondisi Tertentu

Pada modul yang berjudul “Persamaan dan Fungsi Kuadrat-1” telah Anda pelajari cara-cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat atau parabola apabila persamaan atau rumus fungsi kuadrat tersebut diketahui. Kali ini Anda akan mempelajari cara menentukan persamaan fungsi kuadrat apabila sketsa grafik fungsi kuadrat tersebut diketahui atau apabila fungsi kuadrat tersebut melalui tiga titik yang tidak segaris. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah materi berikut.

a.	Grafik Fungsi Kuadrat Memotong Sumbu X di A (x1,0) dan B (x2,0) , serta Melalui Sebuah Titik Tertentu.

Persamaan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai:

y = f (x) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )

dengan nilai a ditentukan kemudian.

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di A ( 1,0 ) dan B ( 5,0 ). Jika fungsi kuadrat itu melalui titik ( 0,10 ), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat tersebut!
Jawab:
	Gunakan rumus y = f ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai:
		y = a ( x – 1 ) ( x – 5 ) ............................……….(I)
	karena fungsi kuadrat melalui titik ( 0,10 ) berarti jika x = 0 , maka diperoleh y = 10. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:
		10 =	a ( 0 – 1 ) ( 0 – 5 )
		10 =	a (-1) (-5)
		10 =	5a
		a =
		a =	2
	Subsitusikan a = 2 ke persamaan (I), diperoleh:
		y =	f (x) = 2 ( x – 1 ) ( x – 5 )
		y =	f (x) = 2 ( x – 5x – x + 5 )
		y =	f (x) = 2 ( x– 6x + 5 )
		y =	f (x) = 2x– 12x + 10
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = 2x– 12x + 10
Bagaimana, mudah bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di A (-1,0 ) dan B (3,0). Jika fungsi kuadrat itu melalui titik (4,-5), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat itu!
Jawab:
	Anda gunakan rumus y = f (x) = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai:
		y = a ( x – (-1) ) ( x – 3 )
		y = a ( x + 1 ) ( x – 3 ) …….................…..........……….(I)
	karena fungsi kuadrat melalui titik ( 4,-5 ) berarti jika x = 4 , maka diperoleh y = -5. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:
		-5 =	a ( 4 + 1 ) ( 4 – 3 )
		-5 =	a (5) (1)
		-5 =	5a
		a =
		a =	-1
	Subsitusikan a = -1 ke persamaan (I), diperoleh:
		y =	(-1) ( x + 1 ) ( x – 3 )
		y =	-( x– 3x + x – 3 )
		y =	-( x– 2x – 3 )
		y =	-x + 2x + 3
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -x + 2x + 3
Tidak sulit bukan? Baiklah, selanjutnya coba Anda pelajari materi berikut.

b.	Grafik Fungsi Kuadrat Menyinggung Sumbu X di A(x1, 0) dan Melalui Sebuah Titik Tertentu.

Persamaan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

y = f (x) = a (x – x1)

dengan nilai a ditentukan kemudian.

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Pada gambar 2-3 diperlihatkan sketsa grafik dari suatu fungsi kuadrat. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut!
Gambar 2-3
Jawab:
	Berdasarkan grafik fungsi pada gambar 2-3 dapat ditentukan bahwa fungsi kuadrat itu menyinggung sumbu x di titik (2,0) dan melalui titik (0,3). Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – x1 ) , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai:
		y = a (x – 2)......................................……………….(I)
	karena fungsi kuadrat melalui titik ( 0,3 ) berarti nilai x = 0 , sehingga diperoleh y = 3. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:
		3 =	a ( 0 – 2 )
		3 =	a (-2)
		3 =	4a
		a =
	Subsitusikan a = ke persamaan (I), diperoleh:
		y =	(x – 2)
		y =	(x – 4x + 4
		y =	x – 3x + 3
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = x – 3x + 3
Bagaimana, tidak sulit bukan? Sudah pahamkah Anda? Baiklah untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu x di titik (1,0) dan melalui titik (-1,4)
Jawab:
	Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – x1 ) , sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai:
		y = a ( x – 1 ) ...................................……………….(I)
	Karena fungsi kuadrat melalui titik ( -1,-4 ) berarti jika x = -1 , maka diperoleh y = -4. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:
		-4 =	a ( -1 – 1 )
		-4 =	a (-2)
		-4 =	4a
		a =
		a =	-1
	Subsitusikan a = -1 ke persamaan (I), diperoleh:
		y =	(-1) ( x – 1 )
		y =	(-1)( x– 2x + 1 )
		y =	-x + 2x – 1
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -x + 2x – 1
Mudah bukan? Anda sudah paham? Baiklah, mari kita lanjutkan mempelajari materi berikut ini.

c.	Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Titik Puncak atau Titik Balik P (xp , yp), dan Melalui Sebuah Titik Tertentu.

Persamaan fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai:

y = f (x) = a ( x – xp ) + yp

dengan nilai a ditentukan kemudian.

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak atau titik balik di P ( 3,-1 ) dan melalui titik ( 0,8 ) !
Jawab:
	Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – xp ) + yp, sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai:
		y = a ( x – 3 )+ (-1)
		y = a ( x – 3 )- 1 .................................……….(I)
	Karena fungsi kuadrat melalui titik ( 0,8 ) berarti jika x = 0 , maka diperoleh y = 8. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:
		8 =	a ( 0 – 3 )– 1
		8 =	a (-3)– 1
		8 =	9a - 1
		8 + 1 =	9a
		9 =	9a
		a =
		a =	1
	Subsitusikan a = 1 ke persamaan (I), diperoleh:
		y =	1. ( x – 3 )– 1
		y =	1.( x– 6x + 9 ) – 1
		y =	x– 6x + 9 – 1
		y =	x– 6x + 8
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = x– 6x + 8
Bagaimana, mudah bukan? Apakah Anda sudah paham? Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda, perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak atau titik balik di P ( -1,-2 ) dan melalui titik ( -2,-4 )!
Jawab:
	Gunakan rumus y = f (x) = a ( x – xp ) + yp, sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai:
		y = a ( x – (-1) )+ (-2)
		y = a ( x + 1 )- 2 ............................……….(I)
	Karena fungsi kuadrat melalui titik (-2,-4) berarti jika x = -2, maka diperoleh y = -4. Selanjutnya Anda tentukan nilai a sebagai berikut:
		-4 =	a ( -2 + 1 )– 2
		-4 =	a (-1)– 2
		-4 =	a – 2
		-4 + 2 =	a
		- 2 =	a
		a =	-2
	Subsitusikan a = -2 ke persamaan (I), diperoleh:
		y =	-2 ( x + 1 )– 2
		y =	-2 ( x + 2x + 1 ) – 2
		y =	-2x– 4x – 2 – 2
		y =	-2x– 4x – 4
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -2x– 4x -4
Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda mengalami kesulitan? Apabila ya, diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka. Apabila sudah paham, Anda lanjutkan mempelajari materi berikut.

d.	Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3,y3)

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:

y = f (x) = ax + bx + c

dengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudian.

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A ( 0,-10) , B ( 1,-6 ) , dan C ( 3,8 )!
Jawab:
	Misalkan persamaan fungsi kuadrat itu adalah : y = f (x) = ax + bx + c
		Melalui titik A ( 0,-10 ) , berarti:
		-10 =	a (0) + b (0) + c
		-10 =	0 + 0 + c
		-10 =	c
		c =	-10
		Melalui titik B ( 1,-6 ) , berarti:
		-6 =	a (1) + b (1) + c
		-6 =	a + b + c
		karena c = -10, maka:
		-6 =	a + b + (-10)
		-6 =	a + b – 10
		-6 +10 =	a + b
		4 =	a + b
		a + b =	4 .......................................………………(I)
		Melalui titik C ( 3,8 ) , berarti:
		8 =	a (3) + b (3) + c
		8 =	9a + 3b + c
		karena c = -10, maka:
		8 =	9a + 3b + (-10)
		8 =	9a + 3b – 10
		8 + 10 =	9a + 3b
		18 =	9a + 3b
		9a + 3b =	18 (kedua ruas dibagi 3)
		3a + b =	6 .....................................………………(II)
		Eliminasi b dari persamaan (I) dan (II) , berarti:
		a + b =	4
		3a + b =	6
		–––––––––	– –
		-2a =	-2
		a =
		a =	1
		Subsitusikan a = 1 ke persamaan (I) atau (II) (pilih salah satu) Misalkan kita pilih ke persamaan (I), maka:
		a + b =	4
		a + b =	4
		b =	4 – 1
		b =	3
		Subsitusikan a = 1 , b = 3 , dan c = -10 ke persamaan y = f (x) = ax + bx + c , diperoleh:
			y = f (x) = (1) x + (3) x + (-10)
			y = f (x) = x + 3x – 10
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah: y = f (x) = x + 3x – 10
Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda sudah paham? Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda, perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A ( 1,3 ) , B ( 0,4 ) , dan C ( -1,7 )!
Jawab:
	Misalkan persamaan fungsi kuadrat itu adalah : y = f (x) = ax + bx + c
		Melalui titik A ( 1,3 ) , berarti:
		3 =	a (1) + b (1) + c
		3 =	a + b + c..........…………....……....……....…………(I)
		Melalui titik B ( 0,4 ) , berarti:
		4 =	a (0) + b (0) + c
		4 =	0 + 0 + c
		4 =	c
		c =	4...............................……....……....…………….(II)
		Melalui titik C ( -1,7 ) , berarti :
		7 =	a (-1) + b (-1) + c
		8 =	a – b + c .......…............................………….(III)
		Dari persamaan (II) diketahui bahwa c = 4 , lalu subsitusikan c = 4 ke persamaan (I) , diperoleh:
		3 =	a + b + 4
		3 – 4 =	a + b
		-1 =	a + b
		a + b =	-1 .....................................…………………….(IV)
		Dan subsitusikan c = 4 ke persamaan (III) diperoleh :
		7 =	a – b + c
		7 =	a – b + 4
		7 – 4 =	a – b
		3 =	a – b
		a – b =	3 .......................................…………………….(V)
		Eliminasi b dari persamaan (IV) dan (V) , diperoleh:
		a + b =	-1
		a - b =	3
		–––––––––	– +
		2a =	2
		a =
		a =	1
		Subsitusikan a = 1 ke persamaan (IV) atau (V) (pilih salah satu) Misalkan kita pilih ke persamaan (IV), maka:
		a + b =	-1
		1 + b =	-1
		b =	-1 – 1
		b =	-2
		Subsitusikan a = 1, b = -2, dan c = 4 ke persamaan y = f(x) = ax + bx + c, diperoleh:
			y = f (x) = (1) x + (-2) x + 4
			y = f (x) = x - 2x + 4
	Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah:y = f (x) = x - 2x + 4
Nah, setelah mempelajari materi dan beberapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini. Perhatikan, sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal latihan uji kompetensi, jangan melihat jawabannya terlebih dulu.

LATIHAN

1.	Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di A ( 2,0 ) dan B ( 6,0 ). Jika fungsi kuadrat itu melalui titik ( 0,12 ), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat itu!
2.	Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu x di titik (3,0 ) dan melalui titik (0,-9)!
3.	Pada gambar 2-4 diperlihatkan sketsa grafik dari suatu fungsi kuadrat. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut! Gambar 2-4
4.	Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A(0,7), B(2,-9), dan C(-2,15)!

UJI KOMPETENSI 2

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan singkat, jelas, dan benar!
1.	Tentukan sumbu simetri dan titik balik masing-masing grafik fungsi kuadrat dengan persamaan :
	a.	y = x - 8x + 7
	b.	y = 2x - 8x
	c.	y = -x - 10x + 25
2.	Selidiki apakah masing-masing fungsi kuadrat di bawah ini bersifat definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya
	a.	y = x - 2x + 11
	b.	y = -x - 4x - 10
	c.	y = x + 2x - 16
3.	Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di A(-2,0) dan B(4,0) , serta melalui titik (1,-18) !
4.	Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu x di titik (-2,0) dan melalui titik ( 0,4 ) !
5.	Pada gambar 2-4 diperlihatkan sketsa grafik dari suatu fungsi kuadrat. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut !
	gambar 2-4
6.	Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A(0,-3) , B( 1,-4 ) , dan C(4,5) !

Bagaimana, mudah bukan? Nah, untuk mengetahui hasil pekerjaan Anda, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban uji kompetensi 2 yang tersedia di bagian akhir modul ini. Hitunglah skor Anda dengan menggunakan aturan yang ada pada masing-masing jawabannya.

Apabila semua jawaban benar, maka skor total = 30 + 30 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100. Selanjutnya untuk menghitung skor akhir yang Anda peroleh, gunakan rumus yang terdapat pada halaman pendahuluan modul ini.

Bagaimana dengan skor yang Anda peroleh? Jika Anda puas dengan hasil yang Anda peroleh, Anda dapat mempersiapkan diri baik-baik dalam menghadapi uji kompetensi akhir modul.