| 1. | Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Bentuk Kuadrat |
Pada modul yang Berjudul “Persamaan dan fungsi Kuadrat–1”, telah Anda pelajari cara-cara menyelesaikan atau menentukan akar-akar persamaan kuadrat yaitu dengan pemfaktoran dan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang cara menyelesaikan atau menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat.
Cobalah Anda ingat kembali beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna, antara lain: 4 = 2
, 9 = 3, 4x = (2x) , x + 2x + 1 = (x + 1) , x– 4x + 4 = (x–2) , dan sebagainya.
Pada prinsipnya, tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Untuk lebih jelasnya marilah kita perhatikan beberapa contoh pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna di bawah ini.
| a. | Bentuk x + 2x + 5 dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut : | ||||
|
| x + 2x + 5 | ||||
|
|  | ( x + 2x + 4 ) | + | (-4) + 5 |
|
|
| |  |
|  |
|
|
| | ( x + 2 ) | + | 1 |
|
|
| Bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu : ( x + 2 ) | ||||
| b. | Bentuk - x - 6x + 10 dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut : | ||||
|
| - x - 6x + 10 | ||||
|
| | -( x + 6x + 9) | + | (9) + 10 |
|
|
| | |
| |
|
|
| | - ( x + 3 ) | + | 19 |
|
|
| Bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu : - ( x + 3 ) | ||||
| c. | Bentuk x - 8x - 1 dapat dimanipulasi secara aljabar sebagai berikut : | ||||
|
| x - 8x - 1 | ||||
|
| | ( x - 8x + 16 ) | + | (-16) - 1 |
|
|
| | |
| |
|
|
| | ( x - 4 ) | + | (-17) |
|
|
| | ( x - 4 ) | - | 17 |
|
|
| Bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna, yaitu : ( x - 4 ) | ||||
Dari ketiga contoh tersebut di atas, proses pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna semacam itu disebut melengkapkan kuadrat sempurna.
Selanjutnya, kita akan menggunakan proses melengkapkan bentuk kuadrat untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan, maka dengan mudah kita dapat menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran. Tetapi apabila suatu persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka salah satu cara untuk menentukan akar-akarnya adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Bagaimana cara menyelesaikan atau menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna? Baiklah, untuk lebih jelasnya Anda perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
| Contoh 1 :
| ||||||||
|
| Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x + 4x - 1 = 0 | |||||||
|
| Jawab : | |||||||
|
|
| x + 4x - 1 | = | 0 |
| |||
|
| | x + 4x - 1 + 1 | = | 0 + 1 | (kedua ruas ditambah 1) | |||
|
| | x + 4x | = | 1 |
| |||
|
| | x + 4x + 4 | = | 1 + 4 | (Kedua ruas ditambah 4 yang merupakan kuadrat dari setengah kali koefisien x, yaitu | |||
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| |  | = | 1 + 4 |
| |||
|
|
|
|
|
| ||||
|
| | = | 1 + 4 |
| ||||
|
| | ( x + 2 ) | = | 5 |
| |||
|
| | x + 2 | = |
|
| |||
|
| | x | = |
|
| |||
|
|
| Ini berarti : x = -2 + atau x = -2 - | ||||||
|
|
| Jadi akar-akar persamaan kuadrat x + 4x - 1 = 0 adalah | ||||||
|
|
| x1 = -2 + atau x2 = -2 - | ||||||
|
|
| Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulis :
Hp = { -2 + , -2 - } | ||||||
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| Mudah bukan? Sudah pahamkah Anda? Untuk menambah pemahaman Anda, perhatikan contoh 2 berikut ini. | |||||||
|
|
|
|
|
|
| |||
| Contoh 2 :
| ||||||||
|
| Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x - 6x + 4 = 0 | |||||||
|
| Jawab : | |||||||
|
|
| x - 6x + 4 | = | 0 |
| |||
|
| | x - 6x + 4 + (-4) | = | 0 + (-4) | (kedua ruas ditambah -4) | |||
|
| | x - 6x | = | -4 |
| |||
|
| | x - 6x + 9 | = | -4 + 9 | (Kedua ruas ditambah 9 yang merupakan kuadrat dari setengah kali koefisien x, yaitu | |||
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| |  | = | -4 + 9 |
| |||
|
|
|
|
|
| ||||
|
| | = | -4 + 9 |
| ||||
|
| | ( x - 3 ) | = | 5 |
| |||
|
| | x - 3 | = |  |
| |||
|
| | x | = |  |
| |||
|
|
| Ini berarti : x =  atau x =  | ||||||
|
|
| Jadi akar-akar persamaan kuadrat x - 6x + 4 = 0 adalah | ||||||
|
|
| x1 = atau x2 = | ||||||
|
|
| Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulis :
Hp = { , } | ||||||
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| Tidak sulit bukan? Apakah Anda sudah paham? Baiklah, untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh 3 di bawah ini. | |||||||
|
|
|
|
|
|
| |||
| Contoh 3 :
| ||||||||||
|
| Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x - 4x + 1 = 0 | |||||||||
|
| Jawab : | |||||||||
|
|
| 2x - 4x + 1 | = | 0 |
| |||||
|
| | 2x - 4x + 1 + (-1) | = | 0 + (-1) | (kedua ruas ditambah (-1)) | |||||
|
| | 2x - 4x | = | 1 |
| |||||
|
| | x - 2x | = |  | (Kedua ruas ditambah 1 yang merupakan kuadrat dari setengah kali koefisien x, yaitu
| |||||
|
|
|
|
|
| ||||||
|
| | x - 2x + 1 | = |
|
| |||||
|
|
|
|
|
| ||||||
|
| |  | = |
| ||||||
|
|
|
|
| |||||||
|
| | = |
| |||||||
|
| | ( x - 1 ) | = |  | ||||||
|
| | x - 1 | = |
| ||||||
|
| | x - 1 | = |  |
| |||||
|
| | x | = |  |
| |||||
|
|
|
| ||||||||
|
|
| Jadi akar-akar persamaan kuadrat 2x - 4x + 1 = 0 adalah | ||||||||
|
|
|
| ||||||||
|
|
| Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulis :
| ||||||||
|
|
| |||||||||
|
| Setelah memperhatikan beberapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Baiklah, agar lebih paham lagi perhatikan contoh 4 di bawah ini. | |||||||||
|
|
| |||||||||
| Contoh 4 :
| |||||||||||||||
|
| Tentukan akar-akar persamaan kuadrat -x + 8x - 5 = 0 | ||||||||||||||
|
| Jawab : | ||||||||||||||
|
|
| -x + 8x - 5 | = | 0 |
| ||||||||||
|
| | -x + 8x - 5 + 5 | = | 0 + 5 | (kedua ruas ditambah 5) | ||||||||||
|
| | -x + 8x | = | 5 | (kedua ruas dikalikan -1) | ||||||||||
|
| | -x - 8x | = | -5 |
| ||||||||||
|
| | -x - 8x + 16 | = | -5 + 16 | (Kedua ruas ditambah 16 yang merupakan kuadrat dari setengah kali koefisien x, yaitu | ||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||
|
| |  | = | 11 |
| ||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
| | = | 11 |
| |||||||||||
|
| | ( x - 4 ) | = | 11 |
| ||||||||||
|
| | x - 4 | = |  |
| ||||||||||
|
|
| x | = |  |
| ||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||
|
|
| Jadi akar-akar persamaan kuadrat -x + 8x - 5 = 0 adalah | |||||||||||||
| |||||||||||||||
|
|
|
| |||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||
|
| Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda masih belum paham? Baiklah, untuk itu perhatikan contoh 5 berikut ini. | ||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||
| Contoh 5 :
| ||||||||
|
| Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x - 2x + 5 = 0 | |||||||
|
| Jawab : | |||||||
|
|
| x - 2x + 5 | = | 0 |
| |||
|
| | x - 2x + 5 + (-5) | = | 0 + (-5) | ( kedua ruas ditambah -5 ) | |||
|
| | x - 2x | = | -5 |
| |||
|
| | x - 2x + 1 | = | -5 + 1 | (Kedua ruas ditambah 1 yang merupakan kuadrat dari setengah kali koefisien x, yaitu | |||
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| |  | = | -4 |
| |||
|
|
|
|
|
| ||||
|
| | = | -4 |
| ||||
|
| | x - 1 | = |
|
| |||
|
|
| Karena  adalah khayal (imajiner), berarti akar-akar persamaan kuadrat x - 2x + 5 = 0 adalah khayal (imajiner). Atau persamaan kuadrat tersebut dikatakan tidak mempunyai akar-akar real atau tidak mempunyai penyelesaian. | ||||||
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| Setelah memperhatikan beberapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini. | |||||||
|
|
|
|
|
|
| |||
| LATIHAN | ||
|
| ||
| Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini ! | ||
| 1. | x + 2x - 4 | = 0 |
| 2. | x - x - 2 | = 0 |
| 3. | 2x + 8x + 3 | = 0 |
| 4. | -x + 6x - 4 | = 0 |
| 5. | 3x + 2x + 1 | = 0 |
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan singkat, jelas, dan benar!
Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini.
| 1. | x - 2x - 1 | = 0 |
| 2. | x + 3x - 1 | = 0 |
| 3. | 2x + 4x + 1 | = 0 |
| 4. | 3x - 4x + 1 | = 0 |
| 5. | -x + 6x - 6 | = 0 |
| 6. | x - 2x + 8 | = 0 |
| 7. | -x + 3x - 1 | = 0 |
Bagaimana, tidak sulit bukan? Pekerjaan Anda sudah selesai? Baiklah, untuk mengetahui hasil pekerjaan Anda, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban uji kompetensi 1 yang tersedia di bagian akhir modul ini. kemudian hitung skor yang Anda peroleh dengan menggunakan aturan sebagai berikut :
Untuk setiap jawaban yang benar, skor = 5
Jadi apabila semua jawaban benar, maka skor total = 7 x 5 = 35
Selanjutnya untuk menghitung skor akhir yang Anda peroleh, gunakan rumus yang terdapat pada halaman pendahuluan.
Jika Anda memperoleh skor > 65%, Bagus! berarti Anda telah berhasil mempelajari materi kegiatan 1. Selanjutnya Anda dapat mempelajari materi kegiatan 2. Tetapi apabila Anda memperoleh skor < href="http://www.e-dukasi.net/mol/mo_full.php?moid=97&fname=kb1.htm">materi kegiatan 1, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai.
Apabila mengalami kesulitan diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada guru bina pada saat tatap muka. Jangan malu untuk bertanya, dengan kerja keras dan percaya diri, Insya Allah Anda akan berhasil.
No comments:
Post a Comment