Monday, 5 January 2009

PENYELESAIAN PERMASALAHAN YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Penyelesaian dari Model Matematika dan Tafsiran Terhadap Solusi Masalah.
Pada kegiatan 1 Anda telah mempelajari materi tentang perancangan model matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dari suatu masalah. Kali ini Anda akan pelajari cara menyelesaikan model matematika dari suatu masalah dan menafsirkan hasilnya. Materi kegiatan 2 ini merupakan kelanjutan dari materi kegiatan 1, oleh karena itu pemahaman Anda terhadap materi kegiatan 1 akan sangat membantu kelancaran untuk mempelajari materi kegiatan 2. Lalu, bagaimana cara menyelesaikan modul matematika dari suatu masalah dan menafsirkan hasilnya? Untuk lebih jelasnya pelajari materi di bawah ini dengan sungguh-sungguh.

1. Penyelesaian dari Model Matematika dan Tafsiran Terhadap Solusi Masalah yang Berkaitan dengan Persamaan Kuadrat

Pada kegiatan 1 telah Anda pelajari cara menentukan besaran masalah dan model matematika dari suatu masalah. Selanjutnya akan Anda pelajari bagaimana menentukan penyelesaian dari model matematika dan tafsiran terhadap solusi masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Untuk lebih jelasnya, Anda perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3. Tentukan bilangan-bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab :
•) Misalkan bilangan itu = x
•) Anda buat model matematikanya sebagai berikut:
•) Karena bentuk x– 4x = -3 merupakan persamaan kuadrat, maka penyelesaiannya adalah:
x – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3) = 0
x – 1 = 0 atau x – 3 = 0
x = 0 + 1 atau x = 0 + 3
x = 1 atau x = 3
•) Anda periksa:
- untuk x = 1 maka: x– 4x = -3
(1)– 4(1) = -3
1– 4 = -3
-3 = -3 (ternyata benar)
- untuk x = 3 maka: x– 4x = -3
(3)2 – 4(3) = -3
9 – 12 = -3
-3 = -3 (ternyata benar)
- Penafsiran solusi masalahnya:
Jadi bilangan-bilangan yang memenuhi kuadrat suatu bilangan dikurangi empat bilangan itu sama dengan -3 adalah 1 atau 3.

Tidak sulit bukan? Untuk menambah pemahaman dan keterampilan Anda menyelesaikan soal, perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2 :
Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75, tentukan bilangan-bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab :
•) Misalkan: bilangan-bilangan itu adalah x dan y,
maka x + y = 20
y = 20 – x
•) Anda buat model matematikanya sebagai berikut :
x . y = 75
x (20 – x) = 75
20x – x = 75
-x + 20 – 75 = 0 (kedua ruas dikalikan (-1))
•) Penyelesaiannya:
(x –15) (x – 5) = 0
x – 15 = 0 atau x – 5 = 0
x = 0 + 15 atau x = 0 + 5
x = 15 atau x = 5
•) Anda cari nilai y sebagai berikut:
>> Untuk x = 15, maka y = 20 – 15
y = 5
lalu diperiksa: x + y = 15 + 5 = 20

x . y = 15 . 5 = 75 (ternyata benar)
>> Untuk x = 5, maka y = 20 – 5
y = 15
lalu diperiksa: x + y = 5 + 15 = 20
x . y = 15 . 5 = 75 (ternyata benar)
•) Penafsiran solusi masalahnya:
Bilangan-bilangan yang memenuhi syarat jumlahnya 20 dan hasil kalinya 75 adalah 5 dan 15.

Bagaimana Anda sudah paham? Baiklah agar Anda lebih paham lagi, simaklah contoh 3 di bawah ini.

Contoh 3 :
Selembar karton berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 3 x 3 cm2 di masing-masing pojoknya. Panjang kotak 2 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu adalah 105 cm.
Tentukan ukuran kotak yang terjadi dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab :
•)

Permasalahan tersebut dibuat

•) Penyelesaiannya:
x– 2x – 35 = 0
(x + 5) (x – 7) = 0
x + 5 = 0 atau x – 7 = 0
x = 0 – 5 atau x = 7
x = -5 atau x = 7.
•)
Untuk x = -5 tidak memenuhi karena panjang kotak tidak mungkin negatif.
Untuk x = 7 maka x = y + 2
7 = y + 2
7 – 2 = y
y = 5
Dari uraian di atas diperoleh x = 7, y = 5, dan tinggi kotak = 3 cm.
•) Penafsiran solusi masalah:
Agar diperoleh kotak dengan ketentuan seperti pada soal, maka ukuran kotak tersebut adalah panjang alas kotak = 7 cm, lebar alas kotak = 5 cm, dan tinggi kotak = 3 cm.
Anda sudah paham? Apabila masih belum paham, perhatikanlah contoh 4 di bawah ini.
Contoh 4 :
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Keliling tanah itu adalah 52 m, sedangkan luasnya adalah 160 m.
Tentukan panjang dan lebar tanah tersebut serta penafsiran solusi masalahnya!
Jawab :
•) Anda buat sketsa gambar tanah sebagai berikut:
•) Misalkan : panjang (p) = x m
lebar (l) = y m
maka : keliling tanah = 2 (p+ l)
52 = 2 (x + y)
26 = x + y
x + y = 26
y = 26 – x
luas tanah = p . l
160 = xy
160 = x (26 – x)
160 = 26x – x

x– 26x + 160 = 0
•)

Penyelesaiannya:

x– 26x + 160 = 0
(x – 16) (x – 10) = 0
x – 16 = 0 atau x – 10 = 0
x = 0 + 16 atau x = 0 + 10
x = 16 atau x = 10
•) Untuk x = 16 maka: y = 26 – x
y = 26 – 16
y = 10
•) Untuk x = 10 maka: y = 26 – x
y = 26 – 10
y = 16
Anda periksa: keliling tanah = 2(x + y)
= 2(16 + 10)
= 2 (26)
= 52 m (benar)
luas tanah = x . y
= (10 . 16)
= 160 m (benar)
•) Penafsiran solusi masalahnya:

pertama : panjang tanah = 16 m dan lebar tanah = 10 m
kedua : panjang tanah = 10 m dan lebar tanah = 16 m
Oleh karena panjang lebih dari lebar, maka Anda pilih penafsiran solusi masalahnya yaitu:
panjang tanah = 16 m dan lebar tanah = 10 m.
Ternyata jawaban Anda cukup panjang, tapi tidak sulit bukan?

Setelah mencermati beberapa contoh di atas, sudah pahamkah Anda?
Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda, kerjakanlah soal latihan uji kompetensi di bawah ini.

LATIHAN 1

1.
Kuadrat suatu bilangan dikurangi enam kali bilangan itu sama dengan –9. Tentukan bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya!
2.
Tiga kali kuadrat suatu bilangan dikurangi satu sama dengan 11. Tentukan bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya!
3.

Selembar seng berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 x 2 cm2 di masing-masing pojoknya. Panjang kotak 4 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu 90 cm3. Tentukan panjang dan alas kotak tersebut serta jelaskan penafsiran solusi masalahnya !

4.

Perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini.

Jika selisih panjang kedua sisi tegaknya sama dengan 2, tentukan luas segitiga tersebut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

Bagaimana, mudah bukan? Apakah Anda sudah selesai mengerjakannya? Apabila belum selesai mengerjakannya jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Tetapi apabila sudah selesai mengerjakannya, seperti inikah jawaban Anda?

2. Penyelesaian dari Model Matematika dan Tafsiran solusi Masalah yang Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat

Pada kegiatan 1 bagian 2 telah Anda pelajari merumuskan model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Kali ini Anda akan mempelajari kelanjutan materi tersebut yaitu menyelesaikan model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dan menafsirkan solusi masalahnya.

Untuk lebih jelasnya, Anda simak beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Jumlah dua buah bilangan adalah 10
Jika hasil kali bilangan itu maksimum maka tentuka bilangan-bilangan tersebut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab :
•) Misalkan: bilangan-bilangan tersebut adalah x dan y,
maka x + y = 10
y = 10 – x
•) Hasil kali kedua bilangan itu adalah: H = x . y
H = x (10 – x)
H = 10x – x
•) H merupakan fungsi dalam x yaitu: H(x) = 10x – x
H(x) = – x + 10x
Berarti a = -1, b = 10, dan c = 0
•) Nilai maksimum H dicapai untuk :
x =
x =
x =
x = 5
Untuk x = 5, maka y = 10 – x
y = 5
•) Penafsiran solusi masalahnya:
Kedua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 5 dan 5, sehingga hasil kalinya = 5 x 5 = 25.
Anda sudah paham? Bagus! Agar Anda lebih paham dan terampil menyelesaikan soal-soal, perhatikan contoh 2 di bawah ini

Contoh 2
Selisih dua bilangan adalah 8.
Tentukan hasil kali minimum bilangan tersebut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab :
•) Misalkan: bilangan-bilangan itu adalah x dan y,
maka x - y = 8
x = y + 8
•) Hasil kali kedua bilangan itu adalah: H = x . y
H = (y + 8) . y
H = y+ 8y
•) H merupakan fungsi kuadrat dalam y yaitu: H(y) = y+ 8y
Berarti a = 1, b = 8, dan c = 0
Nilai minimum H adalah =
=
=
= - 16
•) Penafsiran solusi masalahnya:
Dua bilangan yang selisihnya adalah 8, maka hasil kali minimum kedua bilangan itu sama dengan -16.

Sudah pahamkah Anda setelah mempelajari dua contoh di atas?

Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda cermati contoh 3 di bawah ini.

Contoh 3:
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang kelilingnya 40 m.
Tentukan panjang dan lebar tanah tersebut agar luasnya maksimum!

Jawab:
•)
Anda buat sketsa tanah seperti gambar di bawah ini :
•)
Misalkan:
panjang (p) = x m
lebar (l) = y m
•)
Keliling tanah = 2 (p + l)
40 = 2 (x + y)
40/2 = x + y
20 = x + y
x + y = 20
y = 20 – x
•)
Luas tanah = p . l
L = x . y
L = x (20 – x)
L = 20x – x
•)
L merupakan fungsi kuadrat dalam x yaitu: L (x) = 20x – x
L (x) = – x + 20x
berarti a = -1, b = 20, dan c = 0.
Agar L maksimum maka x =
x =
x =
x = 10
Untuk x = 10 maka: y = 20 – x
y = 20 – 10
y = 10
•) Penafsiran solusi masalahnya:
panjang tanah = x = 10 m
lebar tanah = y = 10 m

Karena panjang tanah sama dengan lebarnya maka tanah tersebut berbentuk persegi dengan sisi-sisinya berukuran 10 m.

Setelah mencermati contoh-contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk lebih memahami, cermati contoh 4 di bawah ini.

Contoh 4 :
Kawat ram yang panjangnya 100 m akan digunakan untuk memagari kandang ayam seperti gambar di bawah ini.

Kandang ayam tersebut berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya adalah tembok.
Tentukan ukuran kandang tersebut agar luas kandang maksimum dan berikan penjelasan tafsiran dari solusi masalahnya!

Jawab:
•)
Anda buat sketsa kandang ayam seperti gambar berikut:
•)
Berdasarkan gambar di atas, keliling pagar ayam = panjang kawat ram
y + x + y = 100
x + 2y = 100
x = 100 - 2y
•)
Luas kandang ayam = panjang x lebar
L = x . y
L = (100 – 2y) . y
L = 100y – 2y
L = -2y + 100 y
•)
L merupakan fungsi kuadrat dalam y yaitu: L (y) = -2y + 100 y
berarti a = -2, b = 100, dan c = 0.
Agar L maksimum maka x =
x =
x =
x = 25
Untuk y = 25 maka: x = 100 – 2y
x = 100 – 2(25)
x = 50
•) Penafsiran solusi masalahnya:
Agar diperoleh luas kandang maksimum maka kawat ram tersebut harus digunakan untuk memagari kandang ayam yang berbentuk persegi panjang dengan salah satu sisinya tembok dengan ukuran panjang = 50 meter dan lebar = 25 meter.


Setelah memperhatikan beberapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui pemahaman Anda, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini. Jujurlah Anda dalam mengerjakan soal-soal latihan uji kompetensi.


LATIHAN 2

1.
Jumlah dua buah bilangan adalah 30.
Jika hasil kali kedua bilangan itu maksimum maka tentukan bilangan-bilangan tersebut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!
2.
Selisih dua buah bilangan adalah 10
Tentukan hasil kali minimum kedua bilangan itu dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!
3.

Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas.
Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik)
Dirumuskan dengan h (t) = 100t – 5t.
Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan serta jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

4.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Persegi ABCD memiliki panjang sisi 8 cm, sedangkan AK = x cm, dan
DL = 2x cm. Jika L menyatakan luas CKL, tunjukkan bahwa :
L (x) = x – 8x + 32, kemudian tentukan luas minimum segitiga CKL dan jelaskan penafsiran masalahnya !

Apabila Anda suka musik, kerjakan soal-soal di atas sambil mendengarkan musik kesayangan Anda agar tidak lelah. Setelah selesai mengerjakannya, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban.

No comments:

Post a Comment