Monday, 5 January 2009

MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

1. Model Matematika yang Berkaitan dengan Persamaan Kuadrat

Pada perhitungan matematika maupun kehidupan sehari-hari, tentu sering Anda jumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat itu mempunyai karakteristik atau ciri tertentu. Agar Anda memahami dan terampil merancang(menyusun) model matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3.
Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:
Langkah 1:
Misalkan bilangan itu = x
Di sini x dinamakan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan kuadrat.

Langkah 2:
Berdasarkan ketentuan, pada soal diperoleh hubungan . bentuk merupakan persamaan kuadrat sebagai model matematika dari permasalahan di atas.

Jadi model matematika dari permasalahan diatas adalah

Bagaimana mudah bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya coba Anda pelajari contoh 2 dibawah ini.

Contoh 2:
Kuadrat suatu bilangan ditambah lima kali bilangan itu dikurangi enam sama dengan nol.
Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:
Langkah 1:
Misalkan bilangan itu = p. Disini p dinamakan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan kuadrat.

Langkah 2:
Berdasarkan ketentuan pada soal diperoleh hubungan . bentuk merupakan persamaan kuadrat sebagai model matematika dari permasalahan di atas.
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah .

Catatan:
Untuk menentukan besaran masalah sebagai variabel persamaan kuadrat, Anda dapat menggunakan variabel selain x dan p. sebagai contoh : a, m, y, dsb.
Pada umumnya yang digunakan adalah variabel x.
Bagaimana? Apakah dapat Anda pahami? Baiklah, agar lebih paham, perhatikan contoh 3 di bawah ini.

Contoh 3:
Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75.
Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:
Langkah 1:
Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y, berarti x + y = 20
Disini x dan y dinamakan besaran masalah.
Selanjutnya akan Anda rancang x sebagai variabel persamaan kuadrat, maka variabel y Anda ubah menjadi y = 20 – x.

Langkah 2:
Berdasarkan ketentuan pada soal bahwa hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75, maka:
x y = 75
Karena y = 20 – x, maka x (20 – x) = 75.
20x – x = 75
Jika dinyatakan dalam bentuk umum persamaan kuadrat maka
- + 20x – 75 = 0
– 20x + 75 = 0
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah
– 20x + 75 = 0

Bagaimana, sudah pahamkah Anda? Untuk menambah pemahaman Anda perhatikan contoh 4 di bawah ini.

Contoh 4:
Selembar karton berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 3 x 3 cm di masing-masing pojoknya. Panjang kotak 2 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu adalah 105 cm .
Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:
Langkah 1:
Anda buat sketsa dari kertas karton tersebut seperti diperlihatkan Gambar 1- 1 di bawah ini.

Gambar 1- 1

Misalkan: panjang kotak = x cm dan lebar kotak = y cm.
Dengan memperhatikan Gambar 1.1 maka Anda dapatkan tinggi kotak = 3 cm. Karena panjang kotak 2 cm lebih dari lebarnya, berarti:

x = y + 2

Selanjutnya Anda rancang x sebagai variabel persamaan kuadrat, maka variabel y diubah menjadi y = x – 2.

Langkah 2:
Karena volum kotak diketahui 105 cm , maka diperoleh:
Volum kotak = panjang lebar tinggi
105
=
x (x -2 ) 3
105
=
3x (x - 2 )
105
=
3 - 6x
0
=
3 - 6x - 105
3- 6x - 105
=
0 (kedua ruas dibagi 3)
- 6x - 105
=
0
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah – 2x – 35 = 0.

Setelah memperhatikan contoh-contoh di atas apakah Anda paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini.

1. Kuadrat suatu bilangan dikurangi tujuh kali bilangan itu sama dengan 8.
2. Kuadrat suatu bilangan ditambah dua kali bilangan itu, dikurangi tiga sama dengan nol.
3. Tiga kali kuadrat suatu bilangan dikurangi satu sama dengan 11.
4. Jumlah dua bilangan sama dengan 40. jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 300, maka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!
5. Selembar kertas karton berbentuk persegi akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang bujur sangkar seluas 2 x 2 cm2 di masing-masing pojoknya. Panjang kotak 4 cm lebih besar dari lebarnya dan volume kotak itu 90 cm3. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!
Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas jangan melihat jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban

2. Model Matematika yang Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat

Anda baru saja mempelajari materi tentang menyusun model matematika dari suatu permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang menyusun model matematika dari suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjelasan berikut ini.

Dalam kehidupan sehari-hari tentunya Anda sering menjumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Oleh karena itu nilai ekstrim (maksimum atau minimum) berperan penting dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Nilai maksimum atau minimum diungkapkan dengan menggunakan kata-kata yang berbeda, misalnya:
a) terbesar, terjauh, tertinggi, terpanjang, terluas, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat.
b) terkecil, terdekat, terendah, terpendek, tersempit, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat.

Apabila dalam suatu masalah terdapat kata-kata seperti di atas, maka hal ini merupakan petunjuk bahwa masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah pemecahan masalahnya selanjutnya adalah sebagai berikut:
1) Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya.
2) Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.
3) Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh pada langkah 2.
4) Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula.

Pada materi ini Anda akan mempelajari sampai dengan langkah 2, selanjutnya langkah 3 dan langkah 4 akan Anda pelajari pada kegiatan 3 bagian 2.
Agar Anda lebih memahami dan terampil menyusun model matematika dari suatu masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat, perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Jumlah dua buah bilangan adalah 10.
Jika hasil kali kedua bilangan itu maksimum, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:
Langkah 1:
Misalkan dua buah bilangan itu masing-masing adalah x dan y, maka x + y =10.

Langkah 2:
•) Hasil kali kedua bilangan itu = x.y
•) Anda rancang x sebagai variabel bebas permasalahan tersebut, maka variabel y dapat Anda ubah menjadi y = 10 – x.
•) Selanjutnya, hasil kali kedua bilangan itu Anda nyatakan sebagai fungsi H, maka: H = x . y
•) Subtitusikan y = 10 – x ke persamaan H = x.y, maka diperoleh:
H = x(10 – x)
H = 10 x – x
H dapat Anda nyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam x, dan ditulis menjadi H(x) = 10x – x.
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah H(x) = 10x – x.

Bagaimana? Apakah Anda mengalami kesulitan? Jika ya, diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan kepada guru bina pada saat tatap muka. Agar Anda lebih paham lagi, perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2 :
Selisih dua buah bilangan adalah 8.
Jika hasil kali kedua bilangan itu minimum, maka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab :
Langkah 1 :
Misalkan dua buah bilangan itu masing-masing adalah x dan y, maka x – y = 8.

Langkah 2 :
•) Hasil kali kedua bilangan itu = x y
•)
Anda rancang y sebagai variabel bebas dari fungsi kuadrat yang merupakan model matematika permasalahan tersebut, maka variabel x diubah menjadi x = y + 8.
•)
Selanjutnya, hasil kali kedua bilangan Anda nyatakan sebagai fungsi H, maka: H = x y
•)
Subtitusikan x = y + 8 ke persamaan H = x y, maka diperoleh:
H = (y + 8) y
H = y + 8y
H dapat Anda nyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam y, dan ditulis menjadi H(y) = y + 8y
Catatan :
Anda juga dapat menyatakan H sebagai fungsi kuadrat dalam x.
Jawabannya adalah
Setelah memperhatikan dua contoh di atas? Sudah pahamkah Anda?
Untuk menambah pemahaman Anda cermati contoh 3 di bawah ini.

Contoh 3 :
Suatu persegi panjang kelilingnya 40 cm.
Agar luas persegi panjang maksimum tentukan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan tersebut dengan panjangnya sebagai variabel bebas.

Jawab :
Buat sketsa persegi panjang sebagai berikut:

Misalkan: panjang (p) = x cm
Lebar (l) = y cm

Keliling persegi panjang = 2(p + l)
40 = 2(x + y) (kedua ruas dibagi 2)
20 = x + y
x + y = 20
Karena panjang (x) sebagai variabel bebas, maka persamaan
x + y = 20 diubah menjadi y = 20 – x.
Apabila luas panjang dinyatakan sebagai fungsi L,
Maka: L = p . l
L = x . y
Subtitusikan y = 20 – x ke persamaan L = x . y, maka diperoleh:
L = x (20 – x)
L = 20x – x
L dapat Anda nyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam x, dan ditulis menjadi L(x) = 20x – x
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah L(x) = 20x – x

Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah dapat dipahami?
Agar Anda lebih paham dan termpil menguasai materi di atas, cermati contoh 4 di bawah ini.

Contoh 4:
Sebuah segitiga siku-siku jumlah kedua sisi siku-sikunya = 40 cm. Agar segitiga siku-siku itu mempunyai luas maksimum, maka nyatakan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan tersebut dengan alasan sebagai variabel bebas.

Jawab:
•) Buat sketsa segitiga siku-siku seperti berikut:
•) Karena alas (x) sebagai variabel bebas maka persamaan x + y = 40 diubah menjadi y = 40 - x
•) Luas segitiga siku-siku Anda nyatakan sebagai fungsi L,
Maka : L= . alas . tinggi
L= xy
•)

Subtitusikan y = 40 – x ke persamaan

L = xy, maka diperoleh:
L = x(40 – x)
L =
L dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam x, dan ditulis menjadi :
L (x) =
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah:
L(x) =

Anda telah mempelajari beberapa contoh merancang model matematika suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Apakah Anda sudah paham? Jika sudah, bagus! Atau mungkin Anda lelah? Jika lelah, istirahatlah sejenak sebelum melanjutkan ke contoh 5.
Nanti setelah Anda merasa segar, Anda dapat pelajari contoh 5.

Contoh 5:
Kawat ram yang panjangnya 100 m akan digunakan untuk memagari kandang ayam seperti Gambar 1-3 (b).
Kandang ayam tersebut berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya adalah tembok.

Gambar 1-3


Tentukan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan tersebut agar diperoleh luas kandang ayam maksimum!

Jawab :
•) Buat dahulu sketsa kandang ayam tersebut menjadi :
•) Dari sketsa di atas, keliling pagar kandang ayam = panjang kawat ram
y + x + y = 100
x + 2y = 100
•) Tentukan y sebagai variabel bebas dari fungsi kuadrat yang merupakan model matematika permasalahan tersebut, maka variabel x dapat diubah menjadi: x = 100 – 2y
•) Selanjutnya luas kandang ayam Anda nyatakan sebagai fungsi L,
maka : L = xy
•) Subtitusikan x = 100 – 2y ke persamaan L = xy, maka diperoleh:
L = (100 – 2y) . y
L = 100y – 2y
L dapat Anda nyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam y, dan ditulis menjadi
L(y) = 100y – 2y
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah L(y) = 100y – 2y.
Anda juga dapat menyatakan L sebagai fungsi kuadrat dalam x. Jawabannya adalah ( klik rumus berikut ini )
Sudah pahamkah Anda? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan uji kompetensi

LATIHAN

1.
Jumlah dua buah bilangan adalah 30.
Jika hasil kali kedua bilangan itu maksimum maka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!
2.
Selisih dua buah bilangan adalah 10.
Jika hasil kali kedua bilangan itu minimum, maka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!
3.
Seutas kawat panjangnya 60 cm.
Kawat itu akan dibentuk persegi panjang.
Agar diperoleh luas persegi panjang maksimum, maka nyatakan model matematika dari permasalahan tersebut dengan lebar sebagai variabel bebas.
4.
Sebuah segitiga siku-siku jumlah kedua sisi siku-sikunya = 20 cm.
Agar segitiga siku-siku itu mempunyai luas maksimum, maka tentukan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan tersebut dengan tinggi sebagi variabel bebas.
5.
Sepotong besi beton panjangnya 12m. bagian ujung-ujungnya dibengkokkan sehingga berbentuk huruf U seperti Gambar 1-4 di bawah ini.
Gambar 1-4
Agar daerah yang diarsir (dibatasi huruf U) luasnya maksimum, maka tentukan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan di atas !
Apabila Anda belum selesai mengerjakan soal-soal tadi, jangan membaca jawabannya terlebih dahulu. Bagaimana, Anda dapat mengerjakannya? Baiklah, apabila sudah selesai mengerjakannya, samakan hasil pekerjaan Anda dengan jawaban latihan di bawah.

TUGAS 1

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan singkat, jelas, dan benar!

1.
Kuadrat suatu bilangan dikurangi delapan kali bilangan itu sama dengan 9, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut! (misalkan bilangan itu = x)
2.
Kuadrat suatu bilangan ditambah sepuluh sama dengan tujuh kali bilangan itu, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut! (misalkan bilangan itu = y).
3.

Selembar seng berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak roti tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 4 x 4 dm2 di setiap pojoknya. Panjang kotak 1 dm lebih dari lebarnya dan volum kotak roti adalah 120 dm. Misalkan: panjang kotak = x dan lebar kotak = y, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut dengan panjang kotak sebagai variabel bebas.

4.
Jumlah dua buah bilangan adalah 16.
Jika hasil kali kedua bilangan itu maksimum, maka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut dalam variabel x ! (misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y).
5.
Seorang siswa akan memotong selembar kertas.
Kertas hasil potongannya berbentuk persegi panjang dengan keliling 60 cm. Apabila siswa tersebut berharap mendapatkan kertas hasil potongan mempunyai luas maksimum. Misalkan: panjang kertas = x dan lebar kertas = y, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut dengan panjang kertas sebagai variabel bebas.

Sudah selesaikah pekerjaan Anda? Tidak sulit bukan? Untuk mengetahui hasil pekerjaan Anda, cocokkan hasil pekerjaan Anda dengan kunci tugas mandiri 1 yang tersedia di bagian akhir modul ini. Lalu hitung skor Anda dengan menggunakan aturan sebagai berikut:

Untuk nomor: 1 jawaban benar skornya = 3
2 jawaban benar skornya = 3
3 jawaban benar skornya = 5
4 jawaban benar skornya = 3
5 jawaban benar skornya = 6

Apabila semua jawaban benar, maka skor total = 3 + 3 + 5 + 3 + 6 = 20. Untuk menghitung skor akhir yang Anda peroleh, gunakan rumus yang terdapat pada halaman pendahuluan modul ini.

Jika Anda memperoleh skor > 65%, berarti Anda sudah berhasil memahami materi kegiatan 1. Selanjutnya Anda dapat mempelajari materi kegiatan 2. Tetapi, apabila memperoleh skor <65%, Anda harus mempelajari kembali kegiatan 1 terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai. Apabila mengalami kesulitan diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan langsung kepada Guru Bina pada saat tatap muka. Jangan malu untuk bertanya, bangkitkanlah semangat belajar Anda, Insya Allah pasti berhasil.

No comments:

Post a Comment